在起始條件已知的情況下，解決一類重復(fù)性問(wèn)題的最佳方案莫過(guò)于使用程序設(shè)計(jì)的三大基本結(jié)構(gòu)之一的“循環(huán)”結(jié)構(gòu)（分為“有限次”和“無(wú)限次”循環(huán)兩種情況）。然而現(xiàn)實(shí)生活中也存在這樣一類問(wèn)題——起始條件不明確，但結(jié)尾卻已知；或者問(wèn)題自身嵌套著自身。在這種情況下我們將采用反向思維，從結(jié)尾條件開始往前推演，直到把起始條件推算出為止。這樣的一種算法往往被成為“遞歸”法。本章節(jié)將主要對(duì)此算法進(jìn)行一系列的探究。

一、遞歸法的定義和數(shù)學(xué)模型：

遞歸法在數(shù)學(xué)上的表達(dá)函數(shù)有點(diǎn)特殊，它是一種自調(diào)用函數(shù)，形式如下：

從定義式可以看出遞歸函數(shù)的最大特征在于自身的輸出作為自身的輸入，直至輸入為某一個(gè)條件而終止。

下面就結(jié)合實(shí)踐，具體闡述并驗(yàn)證這一理論。

【例1】有甲、乙、丙、丁四人，從甲開始到丁，一個(gè)比一個(gè)大1歲，已知丁10歲，問(wèn)甲幾歲？

【分析】這是遞歸法的一道非常典型的題目——因?yàn)槲覀兛梢院茱@然知道：假設(shè)要計(jì)算甲的年齡，那么必須直到乙的年齡；同樣，算乙的必須直到丙的，算丙的必須知道丁的，因?yàn)槎∫阎?，自然可以往前推算了。現(xiàn)在假設(shè)有一個(gè)數(shù)學(xué)模型（函數(shù)）可以計(jì)算出他們各自的年齡（方便期間我們給他們編號(hào)——甲＝1，乙＝2，丙＝3，?。?），那么存在這一個(gè)F(X)函數(shù)，X表示某人的編號(hào)，其規(guī)律如下：

F(1)=F(2)+1

F(2)=F(3)+1

F(3)=F(4)+1

F(4)=10

顯然，直到X=4